无始的数学表达

无限的区间谈论无始比较容易理解，比如说从无限远以来，没法找到一个开始，因为总有一个时刻比你找到的开始还要遥远。有限的区间也是可以谈及无始的，常常举出的例子是做梦，我们梦中的人是没法找到自己梦的开始，这点不难理解，因为未开始以前梦中人还未存在，但是这不是一个无限远的情况，梦的开始不可能早于你上床睡觉的时刻。其实，这事不难理解，实数理论早就给出了这些情况的严格定义。用实数来表示时间段，是数学概念的一大进步，也是集合论取得的一个成就。一般情况，时间段由两个时刻界定，起始时刻a，终极时刻b，可以表达为[a,b]。这种时间段表达是包括起始点a，和终极点b的，这种时间段叫住关闭的，closed interval。但是，实数表达的时间段，并不需要一定包含这两个点，这种情况是开放的，open interval。开放的时间段不是用[]来表达，而是用 ()来表达。比如说，始点开放的时间段可以表述为(a,b]，他的意思是，对于任意一个小的量d，时刻a d都属于时间段(a,b]，这个d可以是极限为0的任意小。也就是说，这个时间段内的时刻，可以无限趋近时刻a，但是不包含时刻a，这就是有限区间内无始的严格数学表达。

ps：下面列出时间段的所有实数表达方式。

The intervals of real numbers can be classified into eleven different types, listed below; where a and b are real numbers, with a < b:

empty: [b,a] = (a,a) = [a,a) = (a,a] = { } = emptyset

degenerate: [a,a] = {a}

proper and bounded:

open: (a,b)={x|a<x<b}

closed: [a,b]={x|a ≤ x ≤ b}

left-closed, right-open: [a,b)={x|a ≤x<b}

left-open, right-closed: (a,b]={x|a<x≤ b}

left-bounded and right-unbounded:

left-open: (a,infty)={x|x>a}

left-closed: [a,infty)={x|x≥ a}

left-unbounded and right-bounded:

right-open: (-infty,b)={x|x<b}

right-closed: (-infty,b]={x|x≤ b}

unbounded at both ends: (-infty, infty)=R